Question

若x表示一个有理数，则丨x－1丨＋丨x-3丨有最小值吗？若有，请算出最小值；若没有，请说明原因。

Answer 1

y=|x-1| |x 3| 

y=-x 1-x-3=-2x-2 x≤-3 ? ? ?最小值=4 

y=-x 1 x 3=4 ? ? ?-3≤x≤1 恒等于4 

y=x-1 x 3=2x 2 ?x≥1 ? ? ?最小值=4 

∴最小值=4

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。

整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。

Answer 2

当x＜1时，原式=1-x+3-x=-2x+4
当1≤x≤3时，原式=x-1+3-x=2
当x＞3时，原式=x-1+x-3=2x-4。
可以在坐标系中画出来原式的图形，
可知当1≤x≤3时，原式取最小值，最小值为2。

Answer 3

|x-1|+|x-3|表示的数轴上任意一点x到x=1和x=3两点的距离之和
显然，当x位于[1,3]之间时有最小值=3-1=2

Answer 4

丨x－1丨＋丨x-3丨
=丨1-x丨＋丨x-3丨≥∣1-x+x-3∣=2
∴有最小值为2.