Question

求幂级数n(n+1)x^n(n=1到∞)的和函数

为什么不能用照片中的做法

Answer 1

解：

令S=x+2x^2+...+nx^n

xS=x^2+2x^3+...+nx^(n+1)

若x≠1则

相减得

(1-x)S=x+x^2+...+x^n-nx^(n+1)

=[x^(n+1)-x]/(x-1)-nx^(n+1)

几何含义

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

Answer 2

解：

令S=x+2x^2+...+nx^n

xS=x^2+2x^3+...+nx^(n+1)

若x≠1则

相减得

(1-x)S=x+x^2+...+x^n-nx^(n+1)

=[x^(n+1)-x]/(x-1)-nx^(n+1)

几何含义

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

Answer 3

可以用。简单计算一下，答案如图所示

Answer 4

f(x)
=
∑
x^n/（n+1）
xf(x)
=
∑
[x^(n+1)]/（n+1）
[xf(x)]'
=
∑
x^n
所以[xf(x)]'的和函数很好求，就是等比级数，所以
[xf(x)]'
=
1/(1-x)
所以xf(x)
=
∫
1/(1-x)dx
=
-ln(1-x)
f(x)=-[ln(1-x)]/x,
最后协商收敛于x属于[-1,0)
u
(0,1)

Answer 5

这是可以用的。