Question

设随机变量X与Y相互独立,且X~N(0,1),N(1,1)则P(X+Y≤1)=1/2

突然不明白，为什么P(X+Y≤1)=1/2？知道X+Y~N(1,2), 表示x+y的概率密度函数的对称轴是1,那么P(X+Y≤1)的几何意义是什么?为什么就=1/2了呢?

Answer 1

X,Y都服从正态分布，那么X+Y也服从正态分布，且X+Y~N(1,2)，表示x+y的概率密度函数的对称轴是1。

那么p(X+Y小于等于1)=1/2

相当于整个函数与坐标轴围成面积的左半部分为0.5。

随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。

扩展资料：

由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。

如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。

连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。

Answer 2

X,Y都服从正态分布,那么X+Y也服从正态分布,且X+Y~N(1,2),表示x+y的概率密度函数的对称轴是1,那么p(X+Y小于等于1)=1/2.相当于整个函数与坐标轴围成面积的左半部分,为0.5.

Answer 3

正态分布以x=μ为对称轴，μ表示其均值，很显然落在对称轴左右两边的概率各位1/2，这也就是式子的几何意义

Answer 4

首先若随机变量X~N(μ，σ²)，
那么aX+b～N(aμ+b，a²σ²)
这个式子应该是知道的吧
那么反过来，
X～N(aμ+b，a²σ²)
同理可以得到
(X-b)/a～N(μ，σ²)
在这里X～N(1，2²)
于是(X-1)/2～N(0，1)

追问

啊，请问是不是将P(X+Y≤1)标准化=Φ[（1-1）/2]=Φ（0）=1/2？