Question

利用二重积分性质估计下列二重积分的值？

Answer 1

m ≤ f(x,y) ≤ M, D 的面积是 S， 则 mS ≤ ∫∫<D>f(x,y)dxdy ≤ MS
(1) D 是正方形，面积是 S = 4，√(4+xy) 最小 1， 最大 √5
则 4 ≤ ∫∫<D>√(4+xy)dxdy ≤ 4√5；
(2) D 是单位圆，面积是 S = π，y-x 最小 -√2， 最大 √2
则 -√2π ≤ ∫∫<D>(y-x)dxdy ≤ √2π；
(3) D 是三角形，面积是 S = 1/2，
f(x,y) = 2x^2+y^2+1, 最小值 f(0, 0) = 1；
在边界 y = 0 即 x 轴上，最小值 f(0, 0) = 1，最大值 f(1, 0) = 3；
在边界 x = 0 即 y 轴上，最小值 f(0, 0) = 1，最大值 f(0, 1) = 2；
在边界 x + y = 1 上，f(x,y) = 2x^2+(1-x)^2+1 = 3x^2-2x+2
= 3(x-1/3)^2+5/3, 最小值 f(1/3, 2/3) = 5/3
f(x,y) 在 D 上最小值 f(0, 0) = 1，最大值 f(1, 0) = 3
则 1/2 ≤ ∫∫<D>(2x^2+y^2+1)dxdy ≤ 3/2。

追问

能发一下（2）的过程嘛

有点看不懂

追答

(2) D 是单位圆，面积是 S = π，f(x,y) = y-x
最小 f(√2/2, -√2/2 ) = -√2， 最大 f(-√2/2, √2/2 ) = √2
则 -√2π ≤ ∫∫(y-x)dxdy ≤ √2π；

追问

谢谢