Question

已知x+y+z=3，x²+y²+z²=9求y-x的最小值

x+y+z=3，x²+y²+z²=9求y-x的最小值

Answer 1

（x+Y+z)²=x²+Y²+z²+2xy+2xz+2yz=9
又x²+Y²+z²=9
所以2xy+2xz+2yz=0
(Y-x)²=x²+Y²-2xy
因为x²+Y²=9-z²
2xy=-（2xz+2yz）=-2z(x+y)=-2z(3-z)
=-6z+2z²
(Y-x)²=9-z²+6z-2z²
=9+6z-3z²=-3(z-1)²+12
所以(Y-x)取极值=√12-3(z-1)²=±√12=±2√3
(Y-x)min为-2√3

Answer 2

设y-x=k,则y=x+k,
所以x+y+z=2x+k+z=3,z=3-2x-k,
所以x^2+y^2+z^2=x^2+(x+k)^2+(3-2x-k)^2=9,
整理得6x^2+(6k-12)x+2k^2-6k=0,
x是实数，
所以△/12=3（k-2)^2-4(k^2-3k)=-k^2+12>=0
k^2<=12,
-2√3<=k<=2√3，
所以所求最小值是-2√3.