Question

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1),证明:存在ξ,η∈(0,1),使得f"(ξ)+f"(η)=0？

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1),证明:存在ξ,η∈(0,1),使得f"(ξ)+f"(η)=0.

Answer 1

令φ(x)=f(x)-(1-x)，

则φ(x)在[0，1]上连续，

φ(0)=-1＜0，φ(1)=1＞0，

故由零点存在定理，

知存在ξ∈(0，1)，使[*]

由拉格朗日微分中值定理，

存在η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使 [*]

  故  f’(η)・f’(ζ)=1。

扩展资料：

对于可导的函数f(x)，寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作。

Answer 2

题目应该是两个一阶导数的和为0吧（因为题目都没有说f函数有二阶导数），如果是一阶导数的话，过程如下请参考

Answer 3

问题是这样吗?如果f(x)=(x-1/2)^2，那也满足f(0)=f(1)，但是f"(x)=2恒成立，就不存在ξ,η∈(0,1),使得f"(ξ)+f"(η)=0

追问

需要用到拉格朗日定理，但是需要找到三个存在的点，已知x=1和x=0的点，但其中一个x=1/2的点我不知道怎么找到的。

追答

你想问的是不是使得f'(ξ)+f'(η)=0，二阶导数如果是那个二次函数，肯定不存在

追问

...你到底会不？怎么不存在？要证明的就是他存在

追答

你算一下我说的那个例子，你看存在不存在，二阶导数恒为2，加起来不可能是0