Question

急求解答高数题，随便哪道题都可

如图

Answer 1

39、令g(x,y)=xy/(1+x^2+y^2)

因为g(x,-y)=-xy/(1+x^2+y^2)=-g(x,y)
且积分区域D关于x轴对称
所以∫∫(D) g(x,y)dxdy=∫∫(D) xy/(1+x^2+y^2)dxdy=0
原式=∫∫(D) 1/(1+x^2+y^2)dxdy+∫∫(D) xy/(1+x^2+y^2)dxdy
=∫∫(D) 1/(1+x^2+y^2)dxdy
令x=pcosk，y=psink，0<=p<=1，-π/2<=k<=π/2
原式=∫(-π/2,π/2)dk*∫(0,1)p/(1+p^2)dp
=π*(1/2)*∫(0,1)d(1+p^2)/(1+p^2)
=(π/2)*ln|1+p^2||(0,1)
=(π/2)*ln2
40、令t=x-1，则x=t+1
原式=ln[(t+1)/(t+2)]
=ln(1+t)-ln(2+t)
=ln(1+t)-ln(1+t/2)-ln2
=∑(n=1->∞) [(-1)^(n-1)]/n*t^n-∑(n=1->∞) [(-1)^(n-1)]/n*(t/2)^n-ln2
=∑(n=1->∞) [(-1)^(n-1)]/n*[t^n-(t/2)^n]-ln2
=∑(n=1->∞) [(-1)^(n-1)]/n*(1-1/2^n)*t^n-ln2

Answer 2

Answer 3

＝ln(x) - ln(1＋x)
＝ln[1＋(x-1)] - ln[2＋(x-1)]
＝ln[1＋(x-1)] - ln(2) - ln[1＋(x-1)/2]
＝∑(n＝1→∞) - (-1)ⁿ(x-1)ⁿ / n
- ln(2)
＋∑(n＝1→∞) (-1)ⁿ(x-1)ⁿ / (n*2ⁿ)