Question

这道二重积分为什么不能利用对称性？

第29题 答案做了如图的变换相当于建立了一个新坐标系 我画了一个示意图 在新坐标系下求二重积分 这个区域是对称的 为什么用对称性求是错的？





Answer 1

我不知道你用你的方法算的过程是啥，但我用你的方法算出来的结果和老师一样。
你可能犯的错误是转换坐标系的时候，x=x'-1/2,y=y'-1/2，但实际上应该是加号
或者看你的图我觉得你可能圆的半径算错了，应该是根号(6)/2

追问

可以看一下过程吗

追答

你不是用对称性吗

转换坐标系后积分区域是x，y都对称的

所以x+y可以直接去掉

只剩下那个区域积分1dxdy

追问

谢谢 已经明白了

Answer 2

哥，圆你都画错了，这个圆它经过原点吗?
还有你说的对称性具体是什么意思?关于谁对称?

追问

麻烦看一下对不对

哪里错了

追答

你为什么只算第一象限呢，你在圆心处建立新的坐标系，被积函数应该变成了x+y+1，这显然既不是奇函数也不是偶函数无法用对称性。

不过你把被积函数拆开后利再利用对称性是可以的，拆开后∫∫xdσ,∫∫ydσ=0,而∫∫1dσ表示圆的面积，所以原式等于π(√6/2)^2=3π/2

这样做更快捷些，省去复杂的积分步骤