Question

已知函数F（x）＝（2的x次方－1）/（2的x次方＋1），求值域和判断单调性

Answer 1

f(x)=[(2^x)-1]/[(2^x)+1]
=[(2^x)+1-2]/[(2^x)+1]
=[(2^x)+1]/[(2^x)+1]-{2/[(2^x)+1]}
=1-{2/[(2^x)+1]}
因为2^x>0，(2^x)+1>1,
所以0<1/[(2^x)+1]<1,
-2<-{2/[(2^x)+1]}
<0，
∴-1<1-{2/[(2^x)+1]}
<1.
函数值域是(-1,1).设
X1
X2是R上的任意两实数,且满足
X2
>
X1
f(X2)
-
f(X1)
=
(代入原函数解析式，通分整理可得下式)
=[2(2^X2
-
2^X1)]/{(2^X1
+1)(2^X2
+1)}
依据指数函数单调性易知
2^X2
-2^X1
>0
2^x>0
f(X2)
-
f(X1)>0
∴原函数为R上的增函数