Question

1/(1+x^4)的不定积分怎么算啊?

Answer 1

∫
dx/[x(1+x⁴)]
令u=x⁴,du=4x³
dx
原式=
∫
1/[x*(1+u)]
*
du/(4x³)
=
(1/4)∫
1/[u(u+1)]
du
=
(1/4)∫
(u+1-u)/[u(u+1)]
du
=
(1/4)∫
[1/u
-
1/(u+1)]
du
=
(1/4)(ln|u|
-
ln|u+1|)
+
C
=
(1/4)ln|x^4|
-
(1/4)ln|x^4+1|
+
C
=
ln|x|
-
(1/4)ln(x^4+1)
+
C
扩展资料
不定积分的解法：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
1、凑微分法
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
2、分部积分法
将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。
3、积分公式法
直接利用积分公式求出不定积分。

Answer 2

本题技巧很高
∫
1/(1+x^4)
dx
=(1/2)∫
[(1-x²)+(1+x²)]/(1+x^4)
dx
=(1/2)∫
(1-x²)/(1+x^4)
dx
+
(1/2)∫
(1+x²)/(1+x^4)
dx
分子分母同除以x²
=(1/2)∫
(1/x²-1)/(x²+1/x²)
dx
+
(1/2)∫
(1/x²+1)/(x²+1/x²)
dx
=-(1/2)∫
1/(x²+1/x²+2-2)
d(x+1/x)
+
(1/2)∫
1/(x²+1/x²-2+2)
d(x-1/x)
=-(1/2)∫
1/[(x+1/x)²-2]
d(x+1/x)
+
(1/2)∫
1/[(x-1/x)²+2]
d(x-1/x)
=-(√2/8)ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)|
+
(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2]
+
C
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