Question

讨论函数f(x)=【a(x+1)+1】/(ax+1)的单调性

Answer 1

可以化成如下：
f(x)=1+1/(x+1/a);
这个的
单调性
就很明显了~~
（-1/a,正无穷大）
单调递减
（负无穷大，-1/a)单调递减

Answer 2

当a=b时，f(x)=a,为常函数，非严格单调递增，也非严格单调递减。
当a≠b时，b/a≠1,根据指数函数定义，a、b均大于0，且均不等于1.
f(x)=[a^(x+1)+b^(x+1)]/(a^x+b^x)（分子分母同除以a^x）
=[a+b(b/a)^x]/[1+(b/a)^x]
={(a-b)+b[1+(b/a)^x]}/[1+(b/a)^x]
=(a-b)/[1+(b/a)^x]+b
f´(x)=(b-a)ln(b/a){(b/a)^x/[1+(b/a)^x]²}>0，

所以f(x)严格单调递增
事实上，(b-a)与ln(b/a)同号，所以其积大于0；{}内的部分恒大于0.
所以

当a=b时，f(x)非严格单调递增，也非严格单调递减。

当a≠b时，f(x)严格单调递增。