Question

指数函数单调性的严格证明

Answer 1

对a^x，a
>
0，讨论它的单调性就不能不先说明它的确切定义。
指数函数是定义在整个实数区间上的。我们先说在整数上的定义：
a^n
=
a
*
a
*
...
*
a
（n
>
0，下同）（n个a相乘）
a^0
=
1
a^(-n)
=
1
/
a^n
再说有理数集上的定义：
a^(1
/
n)
=
a的n次算术根，
a^(p
/
q)
=
(a^p)的q次算术根，其中p
/
q是既约分数.
这样一来，有理数集上的指数函数就定义好了。并且用初等的方法不难证明在有理数集上a^(p
/
q)的单调性。事实上，对a^(p1
/
q1)和a^(p2
/
q2)，可以把分数p1
/
q1和p2
/
q2通分，这样分母相同，设分别是p1'
/
q，
p2'
/
q。现在就是在比以a^(1
/
q)为底，以p1'和p2'为指数的两个数大小。显然当a
>
1时，a^(1
/
q)
>
1，从而可知函数是严格单调增的；反之，a
<
1时，也能证出函数是严格单调减的