Question

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)= e的-y次方，0<x<y 0, 其他

Answer 1

1，求随机变量X的密度fX(x),边沿分布，积分不好写，结果是
fX(x)={e^(-y)
0<x<y
{0
其他
2.概率密度函数f(x,y)在直线x=0,y=x,y=-x+1所围的三角形区域的二重积分，结果是1+e^(-1)-2e^(-1/2)
3.条件分布，应该写成
fX(x|Y=y)而非fξ(x|η=y)，表示Y=y的条件分布，按题目意思，此处y理解为某一常数，则
fX(x|Y=y)=f(x,y)/fY(y)=e^(-y)/ye^(-y)=1/y
fY(y)=ye^(-y)随机变量Y的边沿分布
4.条件概率，似应写成P（X<2|Y<1)，也是积分计算
P（X<2|Y<1)，=P{X<2,Y<1}/P(Y<1)
P{X<2,Y<1}为f(x,y)在直线x=2,y=1,y=x所围区域积分，P(Y<1)为f(x,y)在直线y=x,y=1所围区域积分，在本题情况，两个区域的有效部分（即不为零部分）恰好相等，故积分值为1。概率意义是，随机点分布区域为0<x<y，有Y<1，则必有X<2矣。