Question

数列{an}满足 a1=1,a(n+1)=(n^2+n-λ)an(n=1,2 )λ是常数

Answer 1

(1)λ=3;
a3=-3
(2)数列{an}不可能为等差数列，如（1）问题的题设，计算出a4=-27，显然，a2=-1，a3=-3，a4=-27不为等差数列
(3)
由于a1=1；a2=2-λ；a3=(6-λ)(2-λ)；a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ);a5=(20-λ)(12-λ)(6-λ)(2-λ);....
要使得存在正整数m,当n＞m时总有an＜0，可分析出必须满足条件：a3＜0，a5＜0，a7＜0，a9＜0，....所以2＜λ＜6，12＜λ＜20，30＜λ＜42......，即n^2+n＜λ＜(n+1)^2+(n+1)，其中n=1,3,5,7......