Question

一个函数在R上单调减，那么它的导函数可不可以取等号？

Answer 1

“函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递减”的定义是“f(x)在闭区间[a,b]上有定义，(设ε为正小量)若对任意x0∈(a,b)，都有f(a)≥f(x0-ε)>f(x0)>f(x0+ε)≥f(b)，则说f(x)在闭区间[a,b]上是单调递减的”
这个定义很抽象，必须借助导数来解释。
在判断函数增减性时，不可避免地要涉及到导数，你这个问题需要分不同的情况来解释。
若一个函数在R上单调递减，首先得满足“它的定义域是R”，其次：
①若f(x)在R上是连续的，则“f(x)在R上单调递减”的充要条件是：
“f(x)在可导区间内的导数小于等于0恒成立，且这些区间内的导数的零点个数有限（或者用Mscheng19的话‘且导数在任何一个开子区间上不横等于0’也行）”。
因为f(x)在R上连续，所以无视不可导的点
②若f(x)在R上是不连续的，则“f(x)在R上单调递减”的充要条件是：
“函数f(x)在所有的连续区间内都满足上述定义①，且对于R上任意不连续的点(m,f(m))，都有：(x1→m-)limf(x1)≥f(m)≥(x2→m+)limf(x2)。”
如果你把上述定义理解透彻了，我想你这个问题对你来说就应该不会太困难了吧。
一般来说，出的题不会存在“函数f(x)在某个区间内为常函数”的情况（当然，如果有这种情况，则f(x)不是减函数）。所以你在列恒成立不等式的时候，最好加上等号。
比如下面一道例题：
定义在R上的函数f(x)=(-1/3)x^3+2x^2-ax在R上单调递减，求实数a的取值范围。
（这道题就必须取等，否则你的答案就错了。你可以试着做一下）
若有不明白的地方，欢迎追问。

Answer 2

你好！
结论：f(x)在区间上严格单调递增的充要条件是f'(x)>=0，且在任何一个开子区间上不横等于0。证明：若f递增，显然f'(x)>=0。若在某一个开子区间上f'恒等于0，则f在此区间上是常数，矛盾。
反之，由f'>=0，故f递增。若f不是严格递增，则存在两点a
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