Question

等差数列｛An｝的前n项和为Sn，已知S10=100，S100=10，求S110。

Answer 1

方法1
由等差数列的前n项和的公式特点，
可设Sn=An²+Bn，
则S10=10²A+10B=100，S100=100²A+100B=10，
两式相减得，(100²-10²)A+(100-10)B=
-(100-10)，
∴110A+B=
-1，
∴S110=110²A+110B=110(110A+B)=
-110
方法2
a10=a1+9d
a100=a1+99d
s10=10(a1+a10)/2=5(2a1+9d)=100
2a1+9d=20
s100=100(a1+a100)/2=50(2a1+99d)=10
2a1+99d=0.2
99d-9d=0.2-20
d=-0.22
a1=10.99
s110=110(2a1+109*(-20))/2=55*(2*10.99+109*(-0.22))=-110
方法3
由题意可假设an=a+nd,d为公差
则有:
Sm=am+dm(m+1)/2=n
Sn=an+dn(n+1)/2=m
解得:
d=-(2m+2n)/mn
a=(m^2+n^2+mn+m+n)/mn
所以:
S(m+n)
=(m+n)a+d(m+n)(m+n+1)/2
=-m-n
所以可得S110=-10-100=-110
方法4
S10=a1+……＋a10
S100=a1＋……＋a100
S100-S10=a11+……+a100=-90

45(a11+a100)=-90

a11+a100=-2
S110=110(-2)/2=-110
所以最后等于负110
方法5
解设每项相差m
S20=S10+(S10+10*10m）
S100=10S10+90m*10+80m*10+70m*10+60m*10+50m*10+40m*10+30m*10+20m*10+10m*10
S110=S100+S10+100m*10

=-110