Question

sin²10º+cos²40º+sin40ºcos40º求值

Answer 1

是高中内容，题目有误，
可改为sin²10º+cos²40º+sin10ºcos40º，
常规解法是前两项降幂后和差化积，
第三项积化和差，下面给出非常规解法
设x=sin²10º+cos²40º+sin10ºcos40º，
y=cos²10º+sin²40º+cos10ºsin40º，
则x+y=2+sin50º，
x-y=-cos20º+cos80º-sin30º
=-cos(50º-30º)+cos(50º+30º)-1/2=-sin50º-1/2,
两式相加得2x=3/2,x=3/4,
也可构造△ABC,A=10º,B=50º,C=120º,
由余弦定理得c²=a²+b²+ab,
再用正余弦定理得sin²120º=sin²10º+sin²50º+sin10ºsin50º，
即3/4=sin²10º+cos²40º+sin10ºcos40º.