sin²10º+cos²40º+sin40ºcos40º求值

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彤玉蓉年赋
2020-02-02 · TA获得超过3.7万个赞
知道大有可为答主
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是高中内容,题目有误,
可改为sin²10º+cos²40º+sin10ºcos40º,
常规解法是前两项降幂后和差化积,
第三项积化和差,下面给出非常规解法
设x=sin²10º+cos²40º+sin10ºcos40º,
y=cos²10º+sin²40º+cos10ºsin40º,
则x+y=2+sin50º,
x-y=-cos20º+cos80º-sin30º
=-cos(50º-30º)+cos(50º+30º)-1/2=-sin50º-1/2,
两式相加得2x=3/2,x=3/4,
也可构造△ABC,A=10º,B=50º,C=120º,
由余弦定理得c²=a²+b²+ab,
再用正余弦定理得sin²120º=sin²10º+sin²50º+sin10ºsin50º,
即3/4=sin²10º+cos²40º+sin10ºcos40º.
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