Question

正实数x.y满足2x+3y+6=xy.则xy的最小值是?

Answer 1

∵正实数x,y，∴xy>0
∴2x+y≥2√(2xy)
∴2x+y+6=xy≥2√(2xy)+6
即xy-2√2*√(xy)-6≥0
解不等式，得
√(xy)≥3√2
(√(xy)≤-√2舍弃)
∴xy≥(3√2)^2=18
∴xy的最小值是18（当x=3，y=6时取最小值）

Answer 2

你将答案的“尾巴”弄丢了，当然，也可能是资料中的问题。最小值应该是（18＋6√2）。
［解］
∵2x＋3y＋6＝xy，又x、y都是正数，∴2x＋3y≧2√（6xy）。
∴由2x＋3y＋6＝xy，得：xy－6＝2x＋3y≧2√（6xy），∴xy－2√（6xy）＋6≧12，
∴［√（xy）－√6］^2≧12，∴√（xy）－√6≦－2√3，或√（xy）－√6≧2√3，
∴√（xy）≦√6－2√3，或√（xy）≧√6＋2√3。
∵x、y都是正数，∴√（xy）＝√6－2√3是不合理的，应舍去。
由√（xy）≧√6＋2√3，得：xy≧6＋2√18＋12＝18＋6√2。
∴xy的最小值是（18＋6√2）。