Question

在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．

Answer 1

解：（1）根据题意，可得：A（4，0）、B（0，3），AB=5．
ⅰ）当∠BAQ=90°时，△AOB∽△BAQ，
∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{AB}{AO}$．解得$BQ=\frac{25}{4}$；
ⅱ）当∠BQA=90°时，BQ=OA=4，
∴Q$（{\frac{25}{4}，3}）$或Q（4，3）．（4分）
（2）令点P翻折后落在线段AB上的点E处，
则∠EAQ=∠PAQ，∠EQA=∠PQA，AE=AP，QE=QP；
又BQ∥OP，
∴∠PAQ=∠BQA，∴∠EAQ=∠BQA，
即AB=QB=5．
∴$AP=\frac{1}{2}BQ=\frac{5}{2}$，
∴$AE=AP=\frac{5}{2}=\frac{1}{2}AB$，即点E是AB的中点．
过点E作EF⊥BQ，垂足为点E，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H，
则$EF=\frac{3}{2}$，$PH=\frac{3}{2}$，∴EF=PH．
又EQ=PQ，∠EFQ=∠PHQ=90°，
∴△EQF≌△PHQ，
∴∠EQF=∠PQH，从而∠PQE=90°．
∴∠AQP=∠AQE=45°．（8分）
（3）当点C在线段PQ上时，延长BQ与AC的延长线交于点F，
∵AC⊥AB，
∴△AOB∽△FHA．
∴$\frac{AB}{FA}=\frac{AO}{FH}$即$\frac{5}{FA}=\frac{4}{3}$，
∴$FA=\frac{15}{4}$．
∵DQ∥AC，DQ=AC，且D为BC中点，
∴FC=2DQ=2AC．
∴$AC=\frac{5}{4}$．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=$\frac{1}{4}$；
当点C在PQ的延长线上时，记BQ与AC的交点为F，记AD与BQ的交点为G，
∵CQ∥AD，CQ=AD且D为BC中点，
∴AD=CQ=2DG．
∴CQ=2AG=2PQ．
∴FC=2AF．
∴$AC=\frac{45}{4}$．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=$\frac{9}{4}$．（12分）

Answer 2

解：（1）根据题意，可得：A（4，0）、B（0，3），AB=5．
ⅰ）当∠BAQ=90°时，△AOB∽△BAQ，
∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{AB}{AO}$．解得$BQ=\frac{25}{4}$；
ⅱ）当∠BQA=90°时，BQ=OA=4，
∴Q$（{\frac{25}{4}，3}）$或Q（4，3）．（4分）
（2）令点P翻折后落在线段AB上的点E处，
则∠EAQ=∠PAQ，∠EQA=∠PQA，AE=AP，QE=QP；
又BQ∥OP，
∴∠PAQ=∠BQA，∴∠EAQ=∠BQA，
即AB=QB=5．
∴$AP=\frac{1}{2}BQ=\frac{5}{2}$，
∴$AE=AP=\frac{5}{2}=\frac{1}{2}AB$，即点E是AB的中点．
过点E作EF⊥BQ，垂足为点E，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H，
则$EF=\frac{3}{2}$，$PH=\frac{3}{2}$，∴EF=PH．
又EQ=PQ，∠EFQ=∠PHQ=90°，
∴△EQF≌△PHQ，
∴∠EQF=∠PQH，从而∠PQE=90°．
∴∠AQP=∠AQE=45°．（8分）
（3）当点C在线段PQ上时，延长BQ与AC的延长线交于点F，
∵AC⊥AB，
∴△AOB∽△FHA．
∴$\frac{AB}{FA}=\frac{AO}{FH}$即$\frac{5}{FA}=\frac{4}{3}$，
∴$FA=\frac{15}{4}$．
∵DQ∥AC，DQ=AC，且D为BC中点，
∴FC=2DQ=2AC．
∴$AC=\frac{5}{4}$．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=$\frac{1}{4}$；
当点C在PQ的延长线上时，记BQ与AC的交点为F，记AD与BQ的交点为G，
∵CQ∥AD，CQ=AD且D为BC中点，
∴AD=CQ=2DG．
∴CQ=2AG=2PQ．
∴FC=2AF．
∴$AC=\frac{45}{4}$．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=$\frac{9}{4}$．（12分