Question

逆映射的条件为什么不是f为双射？

Answer 1

假设g和h都是f的逆映射,g
≠
h,那么根据函数不相等的定义,就必然存在y
∈
B,使得g(y)
=
x1,h(y)
=
x2,x1,x2
∈
A,x1
≠
x2.
因为h是逆映射,根据定义,h(y)
=
x2意味着f(x2)
=
y.
但是因为g也是逆映射,同样根据定义,f(x2)
=
y意味着g(y)
=
x2,这与g(y)
=
x1
≠
x2矛盾.
矛盾说明了假设的错误,逆映射惟一.
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也可以说“根据映射不相等的定义”啦,这里随便的.
两个映射g和h要相等,必须定义域同、值域同、对应关系同,也就是对任意的x,g(x)
=
h(x).现在要不相等,那就否定它,也就是存在x,使得g(x)
≠
h(x).
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lz你是先假定存在g和g;,然后证明g
=
g;,这个思路是同一法,而不是反证法,所以你用反证法的语言去叙述,看起来不免别扭.如果用同一法,证明应该这样写：
设g和g;都是f的逆映射,那么根据逆映射存在的条件,对任意的y
∈B,有且仅有惟一的x
∈A使得f(x)
=
y.
再根据逆映射的定义,g(y)
=
x,g;(y)
=
x.即g(y)
=
g;(y).
y的任意性说明了g
=
g;,因此逆映射惟一.

Answer 2

设有两个集合a和b，f是从a到b的映射。
则有b中的任何元素y都可在b中找到其原象x。
必要性：若映射f存在逆映射，则有f^(-1)使得
a中的任何元素x都可在b中找到其象元素y。
即知f是双射。
充分性：若f是双射，则有存在映射g使得
a中的任何元素x都可在b中找到其象元素y。
现在只需证明存在符合条件的g是f的逆映射即可证明充分性。
g（y）=x，又f（x）=y。可得
f[g(y)]=f（x）=y
g[f（x）]=g（y）=x
因此g=f^(-1)。即证充分性。