Question

求在区间[0,π/2]上曲线y=sinx与直线x=π/2,y=0所围成的图形绕y轴旋转产生的旋转体的体积

Answer 1

所求旋转体的体积可看成是由直线x=π/2,y=1,x轴与y轴共同围成的图形绕y轴旋转产生的旋转体体积V1与由直线y=0,曲线y=sinx与y轴所围成的图形绕y轴旋转产生的旋转体体积V2这两者的差值
V1明显是一个圆柱体的体积,其底面半径为π/2,高为1,所以V1=π*(π/2)^*1=(π^3)/4
V2的体积可以通过列出下列积分求出:
V2=∫π*x^(y)dy,y的积分下限为0,上限为1,其中x(y)为y=sinx的反函数,即x=arcsiny,于是有V2=π*∫(arcsiny)^dy
上式可转化为对x的积分:
V2=π*∫x^d(sinx)(x下限可求出为0,上限为π/2)
对其进行分部积分:(以下凡是关于x的积分都是下限为0,上限为π/2)
V2=π*x^*sinx|(x=π/2)-n*x^*sinx|(x=0)-π*∫sinx
d(x^)
=(π^3)/4
+
2π*∫xd(cosx)
=(π^3)/4
+
2π*xcosx|(x=π/2)-2π*xcosx|(x=0)-2π*∫cosxdx
=(π^3)/4
-2π*sinx|(x=π/2)+2π*sinx|(x=0)
=(π^3)/4-2π
于是所求V=V1-V2=2π