Question

高等数学三重积分，写出思路，解题步骤

Answer 1

方法一：用广义球面坐标，x=arsinφcosθ，y=brsinφsinθ，z=crcosφ，则dV=abcr^2sinφ。Ω表示为：0≤θ≤2π，0≤φ≤π，0≤r≤1。
I=∫(0到2π)dθ∫(0到π)dφ∫(0到1)
[a^2r^2(sinφcosθ)^2+b^2r^2(sinφsin)^2+c^2r^2(cosφ)^2]abcr^2sinφdr
＝4πabc(a^2+b^2+c^2)/15.
方法二：先换元x=au，y=bv，z=cw，则dV=abcdudvdw，Ω变成u^2+v^2+w^2≤1。使用轮换对称性后再用球面坐标。
I=∫∫∫(a^
2u
^2+b^2v^2+c^2w^2)abcdudvdw
＝∫∫∫(u^2+v^2+w^2)×(a^2+b^2+c^2)/3×abcdudvdw
＝(a^2+b^2+c^2)/3×abc∫(0到2π)dθ∫(0到π)dφ∫(0到1)
r^2×r^2sinφdr
＝4πabc(a^2+b^2+c^2)/15.