Question

高数达人请进！什么是化定积分方法求极限？

Answer 1

用定积分求极限，一般是求某些和式的极限，将和式极限划归为一个定积分，其依据是定积分的定义及可积函数的性质。我们知道定积分是特殊和式的极限，和式中有函数、有区间长度、有小区间中任意取的点，这些小区间的划分方式、任意点的选取都是任意的，比较复杂；另一方面，我们知道，连续函数在其连续的区间上是可积的，也就是定积分是存在的，这种存在了的定积分当然也可以用和式的极限表示出来，这里我们对小区间及其中的点选取一种特殊的取法：将区间n等分（或n-1等分）、小区间中的点选择区间端点，这样得到的和式其极限也应该等于定积分。我们看到的这类问题，一般已知的是和式极限，将其化为定积分有一定技巧，需逆向思维，在转化的过程中，关键要将和式中的每项化出一个1/n的因式，对于本题1/n已经有了，剩下的第k项为sin(kπ/n),被积函数可以是sinπx，也可以是sinx，如果你觉得不容易掌握的话，就将k/n作为x，由于k的变化范围是1->n，所以k/n的变化范围应该是1/n->1。因n趋于无穷，故1/n趋于0，于是可知积分区间是[0,1],极限可以化为sinπx在[0,1]上的定积分。（你可以倒过来化一下试试，将区间等分，用定义将sinπx表示成和式极限，那个克c取小区间的端点）。
注：如果将kπ/n作为x，那么被积函数就是sinx，积分区间变为[0,π]