Question

从几何的角度谈谈如何利用导数判断函数的单调性以及如何用二阶导数判断曲线的凹凸性

Answer 1

几何角度？
那首先画一个平面直角坐标系了，
然后就是导数的定义了，简单的说导数就是某曲线，在某一点切线的斜率。那么有了这个条件后，我们就可以发现，当一个曲线上所有切线的斜率都大于0，那么他必定是单调递增的。最简单的就是一次函数了。这样我们就可以推出，当曲线斜率为正时，那么函数单调递增。负数是单调递减。
而凹凸性的问题，这里首先要知道什么样的曲线被定义为凹，什么样的为凸。
任意画一条曲线，连接两个端点，得到直线AB，你就会发现，这条曲线上有的点在AB直线上面，有的在下面。
那么在几何上面来说，我们称在上面的为凸，在下的为凹。
那么凹凸有什么数学意义呢，在图上面不难发现，凡是凸的部分，他的斜率，都是先大后小的（凹的则想反）所以，由此我们知道，凸的部分其实就是斜率不断递减的曲线，所以当我们把，导数重新看成一个函数是，他的导数为负数的时候，这个函数为凸。同理凹函数也一样。
最后可以得到结论是：函数二阶导数为负，则为凸，二阶导数为正，函数为凹

Answer 2

设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈（0，1），总有

f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2),
则f称为I上的下(上)凸函数,且凹函数是指下凸函数。
如果其二阶导数在区间上恒大于等于0，就称为凹函数。
如果其二阶导数在区间上恒小于等于0，就称为凸函数。
建议你画两个二次函数（一个口向上，一个口向下，向上的是凹函数），验证一下。
一阶导数大于0为单调增，小于0为单调减。