Question

数学几何题，高手进

在平面直角坐标系中。边长为2的正方形OABC的两顶点A。C分别在Y。X轴正半轴上，现将OABC绕O顺时针旋转，当A第一次落在直线Y=X上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线Y=X于点M，BC交X轴于点N，旋转过程中当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数，设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC过程中，P值是否有变化。理由

Answer 1

连接OB,OB被AC垂直平分,所以MN与OB垂直
当MN和AC平行时,因为△ABC为等腰直角三角形,所以△MBN也是等腰直角三角形
所以△MBO≌△NBO,∠AOM=45度-∠MOB=∠NOB,所以∠AOM=∠MOB=22.5度
根据二倍角正切公式(你有这样的题应该知道这个公式)
tan(2X)=2tanX/(1-(tanX)^2)
可算得tan22.5度=√2-1
正方形边长为2可得CN=(√2-1)*2=2√2-2
NB=2-(2√2-2)=4-2√2
NB:CB=(4-2√2):2=(2-√2):1
△ABC∽△MBN,故△ABC与△MBN周长比等于相似比CB:NB,即1:(2-√2)
△ABC周长为4+2√2,所以△MBN周长为(4+2√2)*(2-√2)=4
P=4
在旋转正方形OABC过程中，P值不发生变化.
过O点做OD⊥MN,垂足为D,易证△AOM≌△ODM,△CON≌△ODN
所以MN=OM+ON=MA+CN,△MBN的周长为MB+NB+MN=MB+AM+NB+CN=AB+BC=4