广义积分 定积分 不定积分的关系是什么
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众所周知,微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数。所以,微分与积分互为逆运算。
实际上,积分还可以分为两部分。第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若f(x)的导数是f(x),那么f(x)+c(c是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到f(x),因为f(x)+c的导数也是f(x),c是无穷无尽的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用f(x)+c代替,这就称为不定积分。
而相对于不定积分,就是定积分。
所谓定积分,其形式为∫f(x)
dx
(上限a写在∫上面,下限b写在∫下面)。之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数。
定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分。用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。
实际上,积分还可以分为两部分。第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若f(x)的导数是f(x),那么f(x)+c(c是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到f(x),因为f(x)+c的导数也是f(x),c是无穷无尽的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用f(x)+c代替,这就称为不定积分。
而相对于不定积分,就是定积分。
所谓定积分,其形式为∫f(x)
dx
(上限a写在∫上面,下限b写在∫下面)。之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数。
定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分。用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。
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1、不定积分
=
indefinite
integral
不定积分,就是求一个被积函数
integrand
的原函数
antiderivative
function;
一个函数f(x)求导后,得到导函数
derivative
function;
把导函数当成被积函数,计算出原来的函数f(x),f(x)就被称为原函数。
2、定积分
=
definite
integral
在不考虑被积函数有间断点的情况下,定积分的方法,跟不定积分的方法一样;
但是不定积分积不出来的情况,有很多在定积分的情况下就能积分出来,也就是说,不定积分,没有积分区间;定积分有积分区间,有时在特殊的积分区间上,不定积分无法积分,定积分却可以积出来。
3、反常积分
=
improper
integral
汉语中分成了两类:广义积分、暇积分。
广义积分,就是涉及到积分区间,一侧或两侧出现无穷的情况;
暇积分:就是积分区间中有间断点的积分。
无论是广义积分,还是暇积分,积分方法与定积分没有差别,反常积分就是定积分,反常积分与一般的定积分的区别在于:积分后必须取极限才能得到结果。
=
indefinite
integral
不定积分,就是求一个被积函数
integrand
的原函数
antiderivative
function;
一个函数f(x)求导后,得到导函数
derivative
function;
把导函数当成被积函数,计算出原来的函数f(x),f(x)就被称为原函数。
2、定积分
=
definite
integral
在不考虑被积函数有间断点的情况下,定积分的方法,跟不定积分的方法一样;
但是不定积分积不出来的情况,有很多在定积分的情况下就能积分出来,也就是说,不定积分,没有积分区间;定积分有积分区间,有时在特殊的积分区间上,不定积分无法积分,定积分却可以积出来。
3、反常积分
=
improper
integral
汉语中分成了两类:广义积分、暇积分。
广义积分,就是涉及到积分区间,一侧或两侧出现无穷的情况;
暇积分:就是积分区间中有间断点的积分。
无论是广义积分,还是暇积分,积分方法与定积分没有差别,反常积分就是定积分,反常积分与一般的定积分的区别在于:积分后必须取极限才能得到结果。
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