Question

求救，关于第二类曲面积分的对称性问题

Answer 1

如果连续或分段连续曲面关于如xoy面对称，且上半曲面和下半曲面的取向如果一致即上下曲面上关于xoy对称的两点处的法向量和z轴正向的夹角同为锐角或同为钝角，那么这时第二类曲面的对称性和第一类一致：被积函数为z的奇函数，则积分值为零。

为z的偶函数，则积分值为二倍的被积函数关于上半曲面的积分值。如果上半曲面和下半曲面的取向相反，则对称性和第一类相反即上面我说的那个球面的情况。

扩展资料：

转化为二重积分，必须注意两个问题：

(1)将曲面S向相应的坐标平面投影，求得二重积分的积分区域。

(2)根据曲面的侧（即法向量的方向）确定二重积分的符号。

根据积分表达式，确定投影平面，如要计算P(x，y，z)dydz，必须将S向yz平面投影，求

得二重积分的积分区域Dyz，此时P(x，y，z)dydz=±P(x(y，z)，y，z)dydz，其中曲面S：x=x(y，z)，(y，z)∈Dyz，二重积分的符号取决于法向量与x正向的夹角，为锐角时取正号，钝角时取负号，简记为前正、后负。

参考资料来源：百度百科-第二型曲面积分

Answer 2

补：如果连续或分段连续曲面关于如xoy面对称，且上半曲面和下半曲面的取向如果一致即上下曲面上关于xoy对称的两点处的法向量和z轴正向的夹角同为锐角或同为钝角，那么这时第二类曲面的对称性和第一类一致：被积函数为z的奇函数，则积分值为零；为z的偶函数，则积分值为二倍的被积函数关于上半曲面的积分值。如果上半曲面和下半曲面的取向相反，则对称性和第一类相反即上面我说的那个球面的情况。

Answer 3

这个对称性是有的哈，不过因为第二类存在面的方向问题，如一个球面关于如xoy面对称，球面方向去向外（或向内），被积函数是z的奇函数或偶函数，那么就会出现你说的那个和第一类相反的情况：被积函数关于z为奇函数，则结果等于二倍的被函数在上半球面的积分；为z的偶函数，则积分为零。