Question

设随机变量X1，X2，---，Xn独立同分布且具有相同的分布密度，证明：P{Xn>max(X1,X2,...,Xn-1)}=1/n

Answer 1

随机变量x1，x2，---，xn独立同分布且具有相同的分布密度
所以设x=max(x1，x2，---，xn)=xi
i=1,2...n中的一个，i取值的可能性是相同的，
所以i=n的可能性为1/n
所以p(max
(x1，x2，---，xn)=xn)=1/n
所以
max
(x1，x2，---，xn)=xn就是xn>max(x1,x2,...,xn-1)
所以p{xn>max(x1,x2,...,xn-1)}=1/n.

Answer 2

可以想得简单一点，先求P{Xn=max(X1,X2,...,Xn-1,Xn)}
考察P{X1=max(X1,X2,...,Xn-1，Xn)}
P{X2=max(X1,X2,...,Xn-1，Xn)}
P{X3=max(X1,X2,...,Xn-1，Xn)}
。。。
P{Xn=max(X1,X2,...,Xn-1，Xn)}
显然，P{X1}+P{X2}+...P{Xn}=1
且这n个数相等
=>P{Xn=max(X1,X2,...,Xn-1,Xn)}=1/n
希望能帮到你
不好意思我简写了P{Xn=max(X1,X2,...,Xn-1，Xn)}，再写解答的时候不能够这么写的
其实对于这道题来说P{Xn=max(X1,X2,...,Xn-1，Xn)}=P{Xn>max(X1,X2,...,Xn-1)},因为他们是连续随机分布，边界的概率就是0，所以可以这么写的。
就好像0<x<3
那么x=1的概率就是0
不过还是1楼写的更加正规，自己可以这么想
写解答的话其实这样写也是可以，不过要写清楚才能行
希望能帮到你

Answer 3

设X1...Xn的概率密度函数是fX(x),概率分布函数是FX(x)
设随机变量Y=max(X1,...,Xn-1)
先求Y的概率分布函数FY(y):
FY(y)=P{Y<y}
=P{max(X1,...,Xn-1)<y}
=P{X1<y}*P{X2<y}*...*P{Xn-1<y}
=[FX(y)]^(n-1)
而概率密度函数fY(y)就是FY(y)求导数，可以暂时不求出，记为fY(y)即可
接下来X1和Y的联合概率密度函数为：
fX1Y(x1,y)=fX(x1)*fY(y)
P{X1>Y}就是平面上X1=Y直线之下的面积上积分：
P{X1>y}=∫{负无穷到正无穷}dx1
∫{负无穷到x1}
fX(x1)*fY(y)
dy
=∫{负无穷到正无穷}
fX(x1)*FY(x1)
dx1
=∫{负无穷到正无穷}
fX(x1)*[FX(x1)]^(n-1)
dx1
=∫{负无穷到正无穷}
[FX(x1)]^(n-1)
d(FX(x1))
=(1/n)*[FX(x1)}^n|{上正无穷，下负无穷}
=1/n

Answer 4

一楼的答案好，解考研题目就是要思路清晰，方法归于正统才是王道。
二楼的解法太想当然了，
“显然，P{X1}+P{X2}+...P{Xn}=1”
X1是个随机变量，什么叫P{X1}?大括号里应该是事件才对，比如P{X1=0}这种，
P{X1}本身意义就不对。
况且题目里明明是X1>max{
}，你这边都是=，细细想来很多模糊的地方都没说清楚。

Answer 5

我这样想的，n个变量x中总有一个最小的，那么是x1，x2还是xn的概率都一样，都是1/n