Question

设A是n阶正定矩阵，Ab是n阶实对称矩阵，证明AB正定的充要条件是B的特征值全大于零

Answer 1

证:
a是n阶实对称矩阵,
则存在正交矩阵p,
p'=p^-1
满足:
p'ap
=
diag(a1,a2,...,an).
其中a1,a2,...,an是a的全部特征值
则a对应的二次型为:
f
=
x'ax
令
x=py
得
f
=
y'p'
apy
=
y'diag(a1,a2,...,an)y
=
a1y1^2+...+any^n
所以
a正定
<=>
f
正定
<=>
ai>0.
即
a是正定矩阵的充分必要条件是a的特征值都大于0.
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Answer 2

AB是n阶实对称矩阵

所以：AB也是
埃尔米特矩阵
所以：AB正定
=

AB 矩阵的所有的特征值都是正的。

z为任意非零n阶向量
z*z>0

zz*>0

(z* 为z 的转置 )

A是n阶正定矩阵，
z*Az > 0

AB正定的充要条件是B的特征值全大于零

若
AB正定
则
z*ABz > 0

又因为zz*>0
所以
z*A(zz*)Bz=z*Azz*Bz=(z*Az)(z*Bz) > 0
因为
z*Az > 0
所以
z*Bz>0

所以

B是n阶正定矩阵

Answer 3

A正定，则存在可逆阵C，使得A=C^TC。于是有公式：
AB=C^TCB=C^T(CBC^(-1))C。
充分性：若B的特征值都大于0，则CBC^(-1)的特征值与B的特征值一样都大于0，
于是AB合同于CBC^(-1)，特征值都大于0，AB正定。
反之，AB正定，则由于AB与CBC^(-1)合同，故CBC^(-1)是正定阵，
其特征值都大于0，B的特征值与CBC^(-1)的特征值一样，都大于0