Question

三角形内画三角形规律

在一个三角形内画六条线段,最多能把三角形分成几个部分?
三角形内画七条呢?八条呢?依次下去有什么规律?

Answer 1

设平面上n条直线最多能把平面分成f(n)个区域,则
f(1)=2,
第n条直线和前（n-1)条直线都相交,被（n-1)个分点分成n条线段或射线,这n条线段或射线把它所在的区域一分为二,所以f(n)=f(n-1)+n,于是
f(n-1)=f(n-2)+n-1,
……
f(2)=f(1)+2,
累加得f(n)=f(1)+2+3+……+n=n(1+n）/2+1=（n^2+n+2)/2.
在一个三角形内画六条线段,最多能把三角形分成f(6)=22个部分,
在一个三角形内画七条线段,最多能把三角形分成f(7)=29个部分,
余者类推.