Question

Σp的k次方

k的p次方累加求和公式!
∑k^p= k=1,2,3,…,np∈R（尤其需要p为负或为小数的情况） 只须求最高次项系数回答好的绝对会加分的!

Answer 1

p=1,∑k^p=n(n+1)/2p=2,∑k^p=n(n+1)(2n+1)/6p=3,∑k^p=[n(n+1)/2]^2第一道比较简单.第二道的证明如下：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
当P=3时,推证过程如下.上次我自己推了P=4时,比较复杂,P=5时也是,自己找不出规律性,我就去问我们老师,他说没有统一的公式,也没有必要去记P比较大时的公式.如果真的有统一公式,麻烦你告诉我.直接发邮箱到我这个Q就OK了,