Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=b...

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若点D为BC边的中点，∠CAD=π6，CD=1，求c的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）方法一：
∵asinA=bsinB=csinC，
∴ab=sinAsinB，cb=sinCsinB．
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2sinAsinB-sinCsinB)cosB=cosC．
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．
∵A∈（0，π），∴sinA≠0．∴cosB=12．
∵B∈（0，π），∴B=π3．
方法二：
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2a-c)a2+c2-b22ac=ba2+b2-c22ab，
化简得 a2+c2-b2=ca，
∴cosB=a2+c2-b22ac=12，
∵B∈（0，π），∴B=π3，
（Ⅱ）在△ACD，△ABD中，CDsin∠CAD=ADsinC，BDsin∠BAD=ADsinB．
由（Ⅰ）知：B=π3．
∵点D为BC边的中点，∠CAD=π6，∴∠ABC=π--π3-π6-C=π2-C，
∴1sinπ6=ADsinC，1sin(π2-C)=ADsinπ3，
化简得sin2C=32，
∵C∈(0，π2)，∴2C∈（0，π），
∴2C=π3或2π3，即C=π3或C=π6，
当C=π3时，△ABC为等边三角形，由CD=1可得：AB=2CD=2；
当C=π6时，∠BAD=π2-π6=π3，所以△ABD为等边三角形，由CD=1可得：AB=BD=CD=1．
综上得，c=2或c=1．