Question

已知f（x）=logax（a＞0，且a≠1）（Ⅰ） 解不等式：f（x+1）-f（...

已知f（x）=logax（a＞0，且a≠1） （Ⅰ） 解不等式：f（x+1）-f（1-x）＞0； （Ⅱ） 若f（x）在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）不等式：f（x+1）-f（1-x）＞0
即 即 loga
（x+1）-loga
（-x+1）＞0，-
亦即
loga
（x+1）＞loga
（-x+1）…1分
（1）当0＜a＜1时，不等式等价于x+1＞01-x＞0x+1＜1-x，解得-1＜x＜0…3分
（2）当a＞1时，上述不等式
x+1＞01-x＞0x+1＞1-x，解得
0＜x＜1…5分
综上可得，当0＜a＜1时，不等式的解集为（-1，0）；
当a＞1时，不等式的解集为（0，1）．
（Ⅱ）（1）当0＜a＜1时，
y=loga
x
在[2，4]上是减函数，故函数的最小值为f（1），最大值为f（2），
由题设得loga2-loga4=1，即
loga12=1，∴a=12…7分
（2）当 a＞1时，y=loga
x
在[2，4]上是增函数，故函数的最小值为f（2），最大值为f（4），
由题设得
loga4-loga2=1，即loga2=1，∴a=2．
综上得
a=2
或a=12…9分．