Question

函数y=(2x^2-x+2)/(x^2+x+1)的值域为?

Answer 1

解:方法一
y=(2x²-x+2)/(x²+x+1)
∵y=2-3x/(x²+x+1)
∵y=2-3/(x+1/x+1)
此时分情况:
①x＞0时
∵x+1/x≥2√x×1/x=2
∴3/(x+1/x+1)≤3/(2+1)=1
∴-3/(x+1/x+1)≥-3/(2+1)=-1
∴y≥2-3/(2+1)=2-1=1
∵-3/(x+1/x+1)＜0
∴y=2-3/(x+1/x+1)＜2
此时函数在y=(2x²-x+2)/(x²+x+1)①x＞0时的值域为[1，2)
②x=0时
y=2/1=2
此时函数在y=(2x²-x+2)/(x²+x+1)②x=0时的值域为[2]
③x＜0时
y=2-3/(x+1/x+1)
y=2+3/[-x+(-1/x)-1]
∵-x+(-1/x)≥2√-x×(-1/x)=2
∴3/[-x+(-1/x)-1]≤3/(2-1)=3
∴y≤2+3/(2-1)=2+3=5
∵3/[-x+(-1/x)-1]＞0
∴y=2+3/[-x+(-1/x)-1]＞2
此时函数在y=(2x²-x+2)/(x²+x+1)③x＜0时的值域为(2，5]
综合①②③几种情况得:函数在y=(2x2-x+2)/(x2+x+1)实数范围内的值域为[1，5]
方法二
y=(2x²-x+2)/(x²+x+1)
y(x²+x+1)=(2x²-x+2)
yx²+yx+y=2x²-x+2
(2-y)x²-(y+1)x+2-y=0
此时分情况考虑:
①2-y=0，y=2，x=0
②2-y≠0
要使方程有解，△=(y+1)^2-4(2-y)^2≥0
整理得:3y^2-18y+15≤0
函数值域为1≤y≤5(包含y=2)
即函数在y=(2x2-x+2)/(x2+x+1)实数范围内的值域为[1，5]