Question

已知{a n }是等比数列，公比q＞1，前n项和为 S n ，且 S 3 a 2 = 7 2

已知{a n }是等比数列，公比q＞1，前n项和为 S n ，且 S 3 a 2 = 7 2 ， a 4 =4，数列 b n 满足： a b n 2n+1 =2，n=1，2，… （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）设数数{b n b n+1 }的前n项和为T n ，求证 1 3 ≤ T n ＜ 1 2 (n∈N*) ．

Answer 1

（I）
S
3
a
2
=
a
1
+
a
1
q+
a
1
q
2
a
1
q
=
1+q+
q
2
q
=
7
2
，
∴整理得2q
2
-5q+2=0，解之得q=2（舍
1
2
）
由此可得a
1
=
a
4
q
3
=
1
2
，得数列{a
n
}的通项公式为a
n
=a
1
q
n-1
=2
n-2
，
∴a
2n+1
=2
2n-1
，结合
a
2n+1
b
n
=2得b
n
=
log

a
2n+1
2
=
1
2n-1
；
可得{b
n
}的通项公式为b
n
=
1
2n-1
；
（II）根据（I）的结论，得
b
n
b
n+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
（
1
2n-1
-
1
2n+1
）
可得T
n
=
1
2
[（1-
1
3
）+（
1
3
-
1
5
）+…+（
1
2n-1
-
1
2n+1
）]=
1
2
（1-
1
2n+1
）
∵n∈N
*
，∴0＜
1
2n+1
≤
1
3
，得
2
3
≤1-
1
2n+1
＜1
因此，T
n
=
1
2
（1-
1
2n+1
）∈[
1
3
，
1
2
），
即不等式
1
3
≤
T
n
＜
1
2
(n∈N*)
成立．