Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值．（1）求函数f（x...

已知函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=-52x+b在区间（0，2）上有两上不等的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ln（x+a）-x2-x
∴f′（x）=1x+a-2x-1=1-2x(x+a)-(x+a)x+a
∵函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值
∴f′（x）=0，∴1-aa=0∴a=1

即f′（x）=1-2x(x+1)-(x+1)x+1=-2x(x+32)x+1 （x＞-1）

由f′（x）＞0得-1＜x＜0，由f′（x）＜0得
x＞0
∴f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）．
（2）令g（x）=f（x）-（-52x+b）=ln（x+1）-x2+32x-b，x∈（0，2）

则g′（x）=1x+1-2x+32

令g′（x）=0得x=1或x=-54（舍去）

当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当1＜x＜2时g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减

方程f（x）=-52x+b在区间（0，2）上有两个不等的实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点
∴g(0)＜0g(1)＞0g(2)＜0⇒-b＜0ln2+12-b＞0ln3-1-b＜0⇒b＞0b＜ln2+12b＞ln3-1
∴ln3-1＜b＜ln2+12

即实数b的取值范围是ln3-1＜b＜ln2+12