已知函数f(x)=13x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R),其图象在点...
已知函数f(x)=13x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单...
已知函数f(x)=13x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0. (1)求a,b的值; (2)求函数f(x)的单调区间和极值.
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解:(1)由题意,f′(x)=x2-2ax+a2-1.
又∵函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,
∴切线的斜率为-1,即 f′(1)=-1,∴a2-2a+1=0,
解得a=1.
又点(1,f(1))在直线x+y-3=0上,∴f(1)=2,
同时点(1,2)在y=f(x)上,∴2=
1
3
-a+(a2-1)+b,
即2=
1
3
-1+(1-1)+b解得b=
8
3
.
(2)f(x)=
1
3
x3-x2+
8
3
,∴f′(x)=x2-2x,
由f′(x)=0可知x=0,或x=2,所以有x、f′(x)、f(x)的变化情况表如下:
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
由上表可知,f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),
单调递减区间是(0,2);
∴函数f(x)的极大值是f(0)=
8
3
,极小值是f(2)=
4
3
.
又∵函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,
∴切线的斜率为-1,即 f′(1)=-1,∴a2-2a+1=0,
解得a=1.
又点(1,f(1))在直线x+y-3=0上,∴f(1)=2,
同时点(1,2)在y=f(x)上,∴2=
1
3
-a+(a2-1)+b,
即2=
1
3
-1+(1-1)+b解得b=
8
3
.
(2)f(x)=
1
3
x3-x2+
8
3
,∴f′(x)=x2-2x,
由f′(x)=0可知x=0,或x=2,所以有x、f′(x)、f(x)的变化情况表如下:
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
由上表可知,f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),
单调递减区间是(0,2);
∴函数f(x)的极大值是f(0)=
8
3
,极小值是f(2)=
4
3
.
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