Question

已知二次不等式ax 2 +2x+b＞0的解集{x|x ≠- 1 a }，且a＞b，则 a 2 + b 2 a-b

已知二次不等式ax 2 +2x+b＞0的解集{x|x ≠- 1 a }，且a＞b，则 a 2 + b 2 a-b 的最小值为______．

Answer 1

∵二次不等式ax
2
+2x+b＞0的解集{x|x
≠-
1
a
}，
∴a＞0，且对应方程有两个相等的实根为
-
1
a
由根与系数的故关系可得
-
1
a
?(-
1
a
)=
b
a
，即ab=1
故
a
2
+
b
2
a-b
=
(a-b
)
2
+2
a-b
=（a-b）+
2
a-b
，
∵a＞b，∴a-b＞0，由基本不等式可得
（a-b）+
2
a-b
≥2
(a-b)
2
a-b
=2
2
，
当且仅当a-b=
2
时取等号
故
a
2
+
b
2
a-b
的最小值为：2
2
故答案为：2
2