Question

有序正整数对（a,b)(a<b)满足a+b=2008，ab互质，满足条件的(a,b)共有多少对？

Answer 1

满足条件的(a,b)共有500对。

A + B = 2008。A 、B奇偶性相同。
而A、B同为偶数时，必含有公因数2，不能互质。因此A、B必同为奇数。

假设A、B同为奇数而不互质，含有最大公因数——某奇数2A + 1 （A取正整数，2A + 1>1）
则A 可表示为：（2A + 1）（2X -1） （X取正整数）
B 可表示为:（2A + 1）（2Y -1） （Y取正整数，Y > X）

A + B
= （2A + 1）（2X -1） + （2A + 1）（2Y -1）
= （2A + 1）（2X + 2Y - 2）
= 大于1的奇数×偶数
=2008
而2008 = 251×2×2×2 （251是质数不能再分解）
因此2A + 1 = 251
此时2X + 2Y - 2 = 8，X + Y = 5 ,Y > X
只有两组解：
X1 = 1，Y1 = 4
X1 = 2，Y2 = 3
对应的
A1 = 251，Y1 = 1757
A2 = 753，Y2 = 1255时A、B同为奇数而不互质，其余情况皆互质。

2008/2 = 1004，A为小于1004的奇数。
1、3、5……1003中共有奇数（1003-1）/2 +1 = 502个，减去251、753这2个，
A可任取剩余的500个奇数之一。
因此满足条件的(a,b)共有500对。

Answer 2

500