有序正整数对(a,b)(a<b)满足a+b=2008,ab互质,满足条件的(a,b)共有多少对?
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满足条件的(a,b)共有500对。
A + B = 2008。A 、B奇偶性相同。
而A、B同为偶数时,必含有公因数2,不能互质。因此A、B必同为奇数。
假设A、B同为奇数而不互质,含有最大公因数——某奇数2A + 1 (A取正整数,2A + 1>1)
则A 可表示为:(2A + 1)(2X -1) (X取正整数)
B 可表示为:(2A + 1)(2Y -1) (Y取正整数,Y > X)
A + B
= (2A + 1)(2X -1) + (2A + 1)(2Y -1)
= (2A + 1)(2X + 2Y - 2)
= 大于1的奇数×偶数
=2008
而2008 = 251×2×2×2 (251是质数不能再分解)
因此2A + 1 = 251
此时2X + 2Y - 2 = 8,X + Y = 5 ,Y > X
只有两组解:
X1 = 1,Y1 = 4
X1 = 2,Y2 = 3
对应的
A1 = 251,Y1 = 1757
A2 = 753,Y2 = 1255时A、B同为奇数而不互质,其余情况皆互质。
2008/2 = 1004,A为小于1004的奇数。
1、3、5……1003中共有奇数(1003-1)/2 +1 = 502个,减去251、753这2个,
A可任取剩余的500个奇数之一。
因此满足条件的(a,b)共有500对。
A + B = 2008。A 、B奇偶性相同。
而A、B同为偶数时,必含有公因数2,不能互质。因此A、B必同为奇数。
假设A、B同为奇数而不互质,含有最大公因数——某奇数2A + 1 (A取正整数,2A + 1>1)
则A 可表示为:(2A + 1)(2X -1) (X取正整数)
B 可表示为:(2A + 1)(2Y -1) (Y取正整数,Y > X)
A + B
= (2A + 1)(2X -1) + (2A + 1)(2Y -1)
= (2A + 1)(2X + 2Y - 2)
= 大于1的奇数×偶数
=2008
而2008 = 251×2×2×2 (251是质数不能再分解)
因此2A + 1 = 251
此时2X + 2Y - 2 = 8,X + Y = 5 ,Y > X
只有两组解:
X1 = 1,Y1 = 4
X1 = 2,Y2 = 3
对应的
A1 = 251,Y1 = 1757
A2 = 753,Y2 = 1255时A、B同为奇数而不互质,其余情况皆互质。
2008/2 = 1004,A为小于1004的奇数。
1、3、5……1003中共有奇数(1003-1)/2 +1 = 502个,减去251、753这2个,
A可任取剩余的500个奇数之一。
因此满足条件的(a,b)共有500对。
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