Question

这题怎么用定积分定义计算积分

∫xdx(积分上限是b下限是a)

Answer 1

答案是
4
所谓用定义法就是利用曲边梯形面积求解，这也是定积分的引例。即曲线与x=a，x=b围城的图形面积s就是该函数在[a,b]的积分。
具体步骤
第一，分割。就是将积分图形分成n个曲边梯形。
将【0，4】n等份，分点为4i/n(i=1,2...n)。第i个曲边梯形的面积为
f（4i/n）*(4/n)=32i/n^2-12/n。
第二，求和。
n个曲边梯形的面积为
sn=s1+s2+...sn=w(i=1,n)[32i/n^2-12/n]=16+16/n-12
。{注：w(i=1,n)表示求和符号
i从1到n,没有编辑器打不出来｝
第三，求极限。因为所求的面积s就是sn的极限值。即，当分割的曲边梯形边长4/n越小，数量n越多，sn就越接近s的面积。
s=lim（n->无穷）=16+0-12=4
这就是所求函数在0到4的定积分。
总结：定积分的定义关键是抓住其几何意义，也就是面积问题。因此，这道题，也可以直接用几何方法得到，就是直接做出函数2x-3的图形。算出其与x=0，x=4围成的图形面积，用在x轴上方图形的面积减去下方的就可以了。具体过程就不写了，因为实在好难打字啊。。。

Answer 2

利用定积分定义，把
(a,b)等分成n个区间，在第k个区间上，函数值为
xk
=
k(b-a)/n
所有这些函数值构成等差数列，
积分等于数列和S=
sum(xk
*
(b-a)/n)的极限
而根据等差数列梯形求和公式S=
(b-a)/n
*
(a
+b)
*n
/2
=
b^2/2
-
a^2/2