Question

已知函数..当时,求函数的极值;若对,有成立,求实数的取值范围.

已知函数.. 当时,求函数的极值; 若对,有成立,求实数的取值范围.

Answer 1

当时,,求导函数,确定函数的单调性,从而可求函数的极值;
求导函数,对,成立,可转化为对成立,分类讨论,利用分离参数法,可求实数的取值范围.
解:当时,,求导函数可得,(分)
令,解得,.
当时,得或;当时,得.
当变化时,,的变化情况如下表:
-
单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
(分)
当时,函数有极大值,,(分)
当时函数有极小值,(分)
,对,成立,
即对成立,(分)
当时,有,即,对恒成立,(分)
,当且仅当时等号成立,(分)
当时,有,即,对恒成立,
,当且仅当时等号成立,
(分)
当时,
综上得实数的取值范围为.(分)
本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查恒成立问题,解题的关键是分类讨论,分离参数.