Question

如何证明奇函数在x=0点的偶数阶导数为零？

Answer 1

Answer 2

奇函数和它的导数f'(x)满足

f(x)=∫(0,x) f'(t)dt
0=f(x)+f(-x) =∫(0,x) f'(t)dt + ∫(0,-x) f'(t)dt :令u=-t

= ∫(0,x) f'(t)dt - ∫(0,x) f'(-u)du
=∫(0,x) f'(t)dt - ∫(0,x) f'(-t)dt
=∫(0,x) [f'(t)-f'(-t)]dt
所以f'(t)=f'(-t)
所以奇函数的导数是偶函数
偶函数和它的导数f'(x)满足

f(x)=∫(0,x) f'(t)dt
0=f(x)-f(-x) =∫(0,x) f'(t)dt - ∫(0,-x) f'(t)dt :令u=-t

= ∫(0,x) f'(t)dt + ∫(0,x) f'(-u)du
=∫(0,x) f'(t)dt + ∫(0,x) f'(-t)dt
=∫(0,x) [f'(t)+f'(-t)]dt
所以f'(t)=-f'(-t)
所以偶函数的导数是奇函数
根据以上证明可以用数学归纳法证明结论
a) 显然f'(x)是偶函数，f''(x)是奇函数
b) 如果f的2k次导数为奇函数，则f的2k+1阶导数为偶函数，2k+2阶导数为奇函数
所以f(x)的2k次导数为奇函数，在x=0处导数为0