Question

已知数列{a n }中， a 1 =1， a 1 +2 a 2 +3 a 3 +…+n a n = n+1 2 a n+1

已知数列{a n }中， a 1 =1， a 1 +2 a 2 +3 a 3 +…+n a n = n+1 2 a n+1 (n≥1，n∈Z) ． （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）求数列{n 2 a n }的前n项和T n ； （3）若存在n∈N * ，使关于n的不等式a n ≤（n+1）λ成立，求常数λ的最小值．

Answer 1

（1）因为
a
1
+2
a
2
+3
a
3
+…+n
a
n
=
n+1
2
a
n+1
(n∈
N
*
)
所以
a
1
+2
a
2
+3
a
3
+…+(n-1)
a
n-1
=
n
2
a
n
(n≥2)
-------（1分）
两式相减得
n
a
n
=
n+1
2
a
n+1
-
n
2
a
n
所以
(n+1)
a
n+1
n
a
n
=3(n≥2)
------------（2分）
因此数列{na
n
}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以
n
a
n
=2?
3
n-2
(n≥2)
----（3分）
故
a
n
=
1，n=1
2
n
?
3
n-2
，n≥2
------------（4分）
（2）由（1）可知当n≥2
n
2
a
n
=2n?
3
n-2
当n≥2时，
T
n
=1+4?
3
0
+6?
3
1
+…+2n?
3
n-2
，------------（5分）
∴
3
T
n
=3+4?
3
1
+…+2(n-1)?
3
n-2
+2n?
3
n-1
，------------（6分）
两式相减得
T
n
=
1
2
+(n-
1
2
)??
3
n-1
(n≥2)
------------（7分）
又∵T
1
=a
1
=1也满足上式，------------（8分）
所以
T
n
=
1
2
+(n-
1
2
)??
3
n-1
(n∈
N
*
)
------------（9分）
（3）a
n
≤（n+1）λ等价于
λ≥
a
n
n+1
，------------（10分）
由（1）可知当n≥2时，
a
n
n+1
=
2?
3
n-2
n(n+1)
设
f(n)=
n(n+1)
2?
3
n-2
(n≥2，n∈
N
*
)
，则
f(n+1)-f(n)=
n(n+1)(1-n)
2?
3
n-1
＜0
，------------（12分）
∴
1
f(n+1)
≥
1
f(n)
，
又
1
f(2)
=
1
3
及
a
1
2
=
1
2
，∴所求实数λ的取值范围为
λ≥
1
3
，
∴
λ
min
=
1
3
-----（14分）