Question

求一道数形结合的奥林匹克数学不等式证明题

我觉得它很经典 原题：a b c三个变量都大于零 不等式两边都是关于abc的代数式 即f（a b c ）大于（注：也许是大于等于）f一瞥（abc） 解法：画一个三角形 其中某些线段长度 也许是三角形边长 自然是大于等于零的 分别相当于abc 把大于号的一边等同于三角形的面积 小于号的一边等同于三角形面积的一部分 也就是三角形内部某个图形的面积 部分自然大于整体

Answer 1

这方面的题目实在是太多了啊，有很多不等式都是用这个方法做的。我提供你我这个暑假碰到的一道题目：
已知正数A,B,C,A1,B1,C1,他们满足A+A1=B+B1=C+C1=K(K为常数)。求证：A*B1+B*C1+C*A1<K^2
本题通过构造一个变长为K的等边三角行，并在3边上取点，设线段长度分别为A,A1,B,B1,C,C1，然后在通过三角形面积公式S=1/2*A*B*SINα这个公式来表是三角形面积，最后通过这个大正三角形的面积大于里面部分小三角形的面积来证的
楼主想要解法，其实很简单。
先画一个等边三角形XYZ，去XY边上任意一点为P，去YZ边上任意一点为Q，去ZX边上任意一点为R，设线段长度XY=YZ=XZ=K，XP=A，PY=A1，YQ=B，QZ=B1，ZR=C，RX=C1。那么显然就有A+A1=B+B1=C+C1=K，这道题目的几何构形就这样建造完毕了。
等式两边同时乘以1/2*SIN60得：1/2*SIN60*A*B1+1/2*SIN60*B*C1+1/2*SIN60C*A1=1/2*SIN60*K*K
等式左边是三角形PQY，三角形QRZ，三角形PRX的面积之和，而等式右边是三角形XYZ的面积，看一下图就知道显然是三角形XYZ的面积大于三角形PQY，三角形QRZ，三角形PRX的面积之和。所以此题得证。
你只要对三角形的面积公式S=1/2*SIN60*A*B这个公式很熟悉，那么这个构造是很容易想到的。