Question

高中数学圆锥曲线问题

选修2-1，49页第8题: 已知椭圆x^2/4+y^2/9=1,一组平行直线的斜率是3/2。 第2问:当他们的椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上。 首先我设这组平行直线方程:y=(3/2)x+b,我已经用维达定理求出了中点坐标x=-b/3，后来看了解答把x=-b/3带入y=(3/2)x+b消去b就得到那组直线的中点的方程，就证明了这些中点在一条直线上。 我想问为什么把x=-b/3带入y=(3/2)x+b消去b就能得到那组直线的中点的方程。我想不通。

Answer 1

你可以先解出中点的坐标，横纵坐标都是用b来表示，(其实得到的就是轨迹的参数方程，)因为轨迹方程就是关于动点的横纵坐标的关系式，现在，你把横纵坐标都用第三个量b来表示，这样消去b，事实上是通过b把x、y联系起来了，于是就得到了轨迹的普通方程。
至于为什么可以不把x、y完全解出用b表示，直接把x=-b/3带入y=(3/2)x+b消去b就得到曲线的方程，原因是你如果由你上面的形式再去解出x、y，解出的x、y与上面两个方程中的x、y是一样的，解方程都是同解的啊!所以解出来再消，和不解出来再消，当然得到的结果就是一样的了，所以以后碰到这种形式，就不用一路把x、y都解出来再消了，而是看准时机，直接在方程组的形态下消去参数，最好不过了!