Question

一道几何证明题,给100分!

给定凸四边形ABCD与形内一点O,且∠AOB=∠COD=120°，且AO=BO，CO=OD，设LKM分别为线段AB、BC、AC的中点，求证（1）KL=LM（2）ΔKLM为等边三角形

Answer 1

1连接AC
BD
∵K、L、M分别是AB、BC、CD的中点
∴KL∥AC，KL＝1／2AC
∴ML∥BD，ML＝1／2BD
∵AO＝BO
　CO＝DO
　∠AOB＝∠COD
∴△AOC≌△BOD
∴AC＝BD
∴KL＝ML
2连接KO、MO
∵AO＝BO，K是AB中点
∴KO⊥AB
∵∠AOB＝120度
∴∠KOA＝30度
∴KO＝1／2AO
即KO／AO＝1／2
同理可得，MO／CO＝1／2
∴KO／AO＝MO／CO
∵∠KOM＝∠KOB＋∠BOC＋∠COM＝60度＋∠BOC＋60度＝120度＋∠BOC
　∠AOC＝∠AOK＋∠KOB＋∠BOC＝60度＋60度＋∠BOC＝120度＋∠BOC
∴∠KOM＝∠AOC
∴△KOM∽△AOC
∴KM／AC＝1／2
即KM＝1／2AC
∴KM＝KL＝ML
∴△KLM为等边三角形