Question

高等代数求解，急

Answer 1

条件里两两内积为一个负常数说明这些向量两两夹角等于一个固定的钝角, 容易想象这些向量从一个公共顶点出发得到的端点能构成一个高维正多面体的顶点, 只要能证明a_1+a_2+...+a_{n+1}=0, 用a_1对它作内积就可以得到a=-1/n.
从几何意义容易想到a_1-a_{n+1}, a_2-a_{n+1}, ..., a_n-a_{n+1}线性无关, 从而构成R^n的基. 这个验证起来很容易, 用线性无关的定义就可以, 若c_1(a_1-a_{n+1})+...+c_n(a_n-a_{n+1})=0, 用a_j作内积得c_j(1-a)=0, 而1-a>0, 只能c_j=0.

为了证明a_1+a_2+...+a_{n+1}=0, 可以用a_j-a_{n+1}对它去作内积, 得到结果为0, 而一个向量与一组基的内积都为零就说明这个向量只能是零向量, 这样就补全了证明.