Question

((2^m)-1,(2^n)-1)=(2^(n,m))-1怎么证明？？

(a,b)表示a,b的最大公约数
你好像理解错题意了。。。。。。。

Answer 1

看图片 http://hi.baidu.com/lca001/blog/item/27d1f2d541f12f0ca08bb7fb.html

Answer 2

我先说一下思路。

1 先证明(2^m)-1,(2^n)-1 都能被(2^(n,m))-1整除， 这个可以通过因式分解做到

2 证明没有比(2^(n,m))-1更大的公约数，也就是没有其他的公因子。我猜是根据辗转相除法来证明

Answer 3

证明：
(m+1/m)^2+(n+1/n)^2
=m^2+2+1/m^2+n^2+2+1/n^2
=(m^2+n^2)+(1/m^2+1/n^2)+4
=(m^2+n^2)+(m^2+n^2)/(m^2*n^2)+4
=(m^2+n^2)[1+1/(mn)^2]+4
=[(m+n)^2-2mn][1+1/(mn)^2]+4
=(1-2mn)[1+1/(mn)^2]+4
由均值不等式：mn<=[(m+n)/2]^2=1/4
因此
1-2mn>=1-2*(1/4)=1/2
1+1/(mn)^2>=1+1/(1/4)^2=17
所以
(m+1/m)^2+(n+1/n)^2
= (1-2mn)[1+1/(mn)^2]+4
>=(1/2)*17+4
= 25/2
证完