Question

求各位大神用均值不等式解一下这道题

Answer 1

1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=3+a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b
≥3+2√（ab/ab）+2√(ac/ac)+2√(bc/bc)=3+6=9.
当且仅当a=b=c取等号。
属于1的代换，化为倒数型结构，应用基本不等式求解。

Answer 2

先写个不等式
(1/a+1/b+1/c)/3 ≥3×立方根号下（1/a · 1/b ·1/c）
a+b+c=1,当a=b=c时候，abc的乘积最大，→1/abc最小
所以a=b=c=1/3，abc=1/27最大，→1/abc=27最小
(1/a+1/b+1/c)/3 ≥3×立方根号下（1/a · 1/b ·1/c）=3×立方根号下（27）=9
(1/a+1/b+1/c)/3 ≥ 9，最小取9

Answer 3

因为 a、b、c 都是正实数，那么由 a+b+c = 1，可以得到：
a+b+c = 1 ≥ 3 * ³√(abc)
即 ³√(abc) ≤ 1/3
设 S = 1/a + 1/b + 1/c
那么：
1/S = abc/(bc+ac+ab)
因为 bc + ac + ab ≥ 3 * ³√(bc * ac * ab) = 3 * ³√(abc)²
那么肯定有：
1/S = abc/(bc+ac+ab) ≤ abc/[3 * ³√(abc)²] = 1/3 * (abc)/³√(abc)² = 1/3 * ³√(abc) ≤ 1/3 * 1/3 = 1/9
即 S ≥ 9
因此，1/a + 1/b + 1/c 的最小值为 9。